Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość d = a√3. W tym artykule wyjaśniamy, czym różni się ona od przekątnej ściany, skąd bierze się wzór i jak z przekątnej obliczyć krawędź, objętość oraz pole powierzchni. Znajdziesz tu wyprowadzenie z twierdzenia Pitagorasa, tabelę gotowych wartości, przykłady krok po kroku i zadania z rozwiązaniami.
Czym jest przekątna sześcianu?
Sześcian to graniastosłup, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami. Ma 6 ścian, 12 krawędzi równej długości i 8 wierzchołków.
Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie leżą na jednej ścianie. Biegnie więc przez wnętrze bryły, od jednego narożnika do narożnika położonego najdalej.
Łatwo pomylić ją z przekątną ściany, dlatego warto od razu zestawić oba odcinki:
| Cecha | Przekątna ściany | Przekątna sześcianu |
| Gdzie leży | na powierzchni, w jednej ścianie | wewnątrz bryły |
| Jakie wierzchołki łączy | przeciwległe wierzchołki kwadratu | wierzchołki nienależące do jednej ściany |
| Długość | a√2 | a√3 |
| Ile ich jest | 12, po dwie na każdej ścianie | 4 |
Wszystkie cztery przekątne sześcianu mają tę samą długość. Przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem sześcianu i dzieli każdą z nich na połowy.
Wzór na przekątną sześcianu
Długość przekątnej sześcianu to długość krawędzi pomnożona przez pierwiastek z trzech:
d = a√3
| Symbol | Znaczenie |
| d | długość przekątnej sześcianu |
| a | długość krawędzi sześcianu |
| √3 | w przybliżeniu 1,732 |
Przekątna jest więc około 1,73 razy dłuższa od krawędzi. To najdłuższy odcinek, jaki mieści się w sześcianie.
Wynik można podać w postaci dokładnej, na przykład 4√3 cm, albo przybliżonej, czyli około 6,93 cm. Przekątna to długość, więc jednostką są centymetry lub metry, a nie jednostki kwadratowe czy sześcienne.
Skąd się bierze wzór d = a√3?
Wzór wynika z dwukrotnego użycia twierdzenia Pitagorasa. Najpierw liczymy przekątną podstawy, a potem przekątną całej bryły.
- Przekątna podstawy. Podstawa jest kwadratem o boku a. Jej przekątna p spełnia równanie p² = a² + a² = 2a², więc p = a√2.
- Trójkąt prostokątny wewnątrz sześcianu. Przekątna podstawy, krawędź boczna i przekątna sześcianu tworzą trójkąt prostokątny. Krawędź boczna jest prostopadła do podstawy, więc kąt prosty leży między nią a przekątną podstawy.
- Przekątna sześcianu. Jest przeciwprostokątną tego trójkąta: d² = a² + (a√2)² = a² + 2a² = 3a², więc d = a√3.
To samo widać w skróconym zapisie: d² = a² + a² + a². Każdy z trzech wymiarów sześcianu dokłada jeden składnik a², stąd trójka pod pierwiastkiem.
Znajomość wyprowadzenia zabezpiecza przed pomyłką. Jeśli na sprawdzianie nie pamiętasz, czy we wzorze jest √2 czy √3, odtworzysz go w trzech linijkach.
Jak obliczyć przekątną sześcianu krok po kroku?
- Ustal długość krawędzi a. Jeśli nie jest podana, wyznacz ją z objętości, pola powierzchni lub przekątnej ściany.
- Pomnóż krawędź przez √3.
- Zostaw wynik w postaci dokładnej albo zaokrąglij, przyjmując √3 ≈ 1,73.
- Dopisz jednostkę długości.
Przykład 1. Dana jest krawędź
Krawędź sześcianu ma 4 cm.
d = 4√3 ≈ 4 · 1,732 ≈ 6,93 cm
Przykład 2. Krawędź z pierwiastkiem
Krawędź sześcianu ma 2√3 cm.
d = 2√3 · √3 = 2 · 3 = 6 cm. Pierwiastki się znoszą, a wynik jest liczbą całkowitą.
Przykład 3. Krawędź z przekątnej
Przekątna sześcianu ma 9 cm. Oblicz długość krawędzi.
Z wzoru d = a√3 wynika a = d / √3. Po usunięciu niewymierności z mianownika: a = 9√3 / 3 = 3√3 ≈ 5,20 cm.
Przykład 4. Objętość i pole z przekątnej
Przekątna sześcianu ma 5√3 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.
Krawędź: a = 5√3 / √3 = 5 cm. Objętość: V = 5³ = 125 cm³. Pole powierzchni: P = 6 · 5² = 150 cm².
Tabela długości przekątnej sześcianu
Tabela podaje gotowe wartości dla krawędzi od 1 do 10. Przybliżenia zaokrąglono do dwóch miejsc po przecinku, a jednostka jest taka sama jak jednostka krawędzi.
| Krawędź a | Przekątna ściany a√2 | Przekątna sześcianu a√3 | Przekątna sześcianu w przybliżeniu |
| 1 | 1,41 | √3 | 1,73 |
| 2 | 2,83 | 2√3 | 3,46 |
| 3 | 4,24 | 3√3 | 5,20 |
| 4 | 5,66 | 4√3 | 6,93 |
| 5 | 7,07 | 5√3 | 8,66 |
| 6 | 8,49 | 6√3 | 10,39 |
| 7 | 9,90 | 7√3 | 12,12 |
| 8 | 11,31 | 8√3 | 13,86 |
| 9 | 12,73 | 9√3 | 15,59 |
| 10 | 14,14 | 10√3 | 17,32 |
Przekątna rośnie proporcjonalnie do krawędzi. Dwa razy dłuższa krawędź daje dwa razy dłuższą przekątną, ale osiem razy większą objętość.
Co można obliczyć, znając przekątną sześcianu?
Sześcian jest wyznaczony przez jedną liczbę, czyli długość krawędzi. Dlatego z samej przekątnej da się obliczyć każdą inną wielkość.
| Szukana wielkość | Wzór z krawędzią | Wzór z przekątną d |
| krawędź | a | a = d / √3 = d√3 / 3 |
| przekątna ściany | p = a√2 | p = d√6 / 3 |
| pole powierzchni całkowitej | P = 6a² | P = 2d² |
| objętość | V = a³ | V = d³√3 / 9 |
| promień kuli opisanej na sześcianie | R = a√3 / 2 | R = d / 2 |
| promień kuli wpisanej w sześcian | r = a / 2 | r = d√3 / 6 |
Przykład: przekątna ma 6 cm. Pole powierzchni to P = 2 · 6² = 72 cm², a objętość V = 6³ · √3 / 9 = 24√3 ≈ 41,57 cm³.
Kąty, które tworzy przekątna sześcianu
W liceum pojawiają się pytania o kąty. Oba wynikają z tego samego trójkąta prostokątnego o bokach a, a√2 i a√3.
- Kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy: tg α = a / (a√2) = √2 / 2, czyli α ≈ 35,3°.
- Kąt między przekątną a krawędzią wychodzącą z tego samego wierzchołka: cos β = a / (a√3) = √3 / 3, czyli β ≈ 54,7°.
Kąty te nie zależą od długości krawędzi. Są takie same w każdym sześcianie.
Przekątna sześcianu a przekątna prostopadłościanu
Sześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu, w którym wszystkie trzy wymiary są równe. Wzór na przekątną sześcianu to uproszczona wersja wzoru ogólnego.
| Bryła | Wymiary | Wzór na przekątną |
| Prostopadłościan | a, b, c | d = √(a² + b² + c²) |
| Graniastosłup prawidłowy czworokątny | podstawa a, wysokość h | d = √(2a² + h²) |
| Sześcian | a | d = √(3a²) = a√3 |
Przykład: prostopadłościan o wymiarach 3 cm, 4 cm i 12 cm ma przekątną d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm.
Warto zapamiętać wzór ogólny. Jeśli w zadaniu bryła okaże się prostopadłościanem, a nie sześcianem, wzór a√3 da błędny wynik.
Przekątna sześcianu – zadania z rozwiązaniami
Zadania są ułożone od najprostszych do wymagających. Spróbuj rozwiązać każde samodzielnie, zanim przeczytasz rozwiązanie.
Zadanie 1. Przekątna z krawędzi. Krawędź sześcianu ma 7 cm. Oblicz długość przekątnej.
d = 7√3 ≈ 12,12 cm
Zadanie 2. Krawędź i objętość z przekątnej. Przekątna sześcianu ma 12 cm. Oblicz krawędź i objętość.
Krawędź: a = 12 / √3 = 12√3 / 3 = 4√3 ≈ 6,93 cm. Objętość: V = (4√3)³ = 64 · 3√3 = 192√3 ≈ 332,55 cm³.
Zadanie 3. Przekątna z pola powierzchni. Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 150 cm². Oblicz przekątną.
Z wzoru 6a² = 150 mamy a² = 25, czyli a = 5 cm. Przekątna: d = 5√3 ≈ 8,66 cm.
Zadanie 4. Przekątna z przekątnej ściany. Przekątna ściany sześcianu ma 6√2 cm. Oblicz przekątną sześcianu.
Przekątna ściany to a√2, więc a = 6 cm. Przekątna sześcianu: d = 6√3 ≈ 10,39 cm.
Zadanie 5. Suma krawędzi. Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi 96 cm. Oblicz przekątną.
Sześcian ma 12 krawędzi, więc a = 96 / 12 = 8 cm. Przekątna: d = 8√3 ≈ 13,86 cm.
Zadanie 6. Pręt w pudełku. Czy prosty pręt o długości 60 cm zmieści się w sześciennym pudełku o krawędzi wewnętrznej 35 cm?
Najdłuższy odcinek w sześcianie to jego przekątna: d = 35√3 ≈ 60,62 cm. To więcej niż 60 cm, więc pręt się zmieści, jeśli ułożymy go wzdłuż przekątnej i pominiemy jego grubość.
Zadanie 7. Kąt nachylenia (liceum). Wyznacz miarę kąta, jaki przekątna sześcianu tworzy z płaszczyzną podstawy.
Szukany kąt leży między przekątną sześcianu a przekątną podstawy. tg α = a / (a√2) = √2 / 2 ≈ 0,7071. W tablicach trygonometrycznych najbliżej jest tg 35° ≈ 0,7002, więc α ≈ 35°.
Najczęstsze błędy przy obliczaniu przekątnej sześcianu
- √2 zamiast √3. Wzór a√2 opisuje przekątną ściany, czyli kwadratu. Przekątna bryły to a√3.
- Mylenie przekątnej ściany z przekątną sześcianu na rysunku. Przekątna sześcianu przechodzi przez wnętrze bryły i łączy wierzchołek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej.
- Niewymierność w mianowniku. Wynik a = 9 / √3 jest poprawny, ale zwykle wymaga się postaci 3√3.
- Błąd w potęgowaniu. (4√3)³ to 64 · 3√3 = 192√3, a nie 64√3 ani 192.
- Zła jednostka. Przekątna to długość w cm, pole w cm², objętość w cm³.
- Wzór sześcianu dla prostopadłościanu. Gdy krawędzie mają różne długości, stosuj d = √(a² + b² + c²).
Większość tych pomyłek ma źródło we wcześniejszych tematach: twierdzeniu Pitagorasa, działaniach na pierwiastkach i jednostkach.
Najczęściej zadawane pytania o przekątną sześcianu
Jaki jest wzór na przekątną sześcianu?
d = a√3, gdzie a to długość krawędzi. Przekątna jest około 1,73 razy dłuższa od krawędzi.
Ile przekątnych ma sześcian?
Cztery. Każda łączy parę najbardziej oddalonych wierzchołków, a wszystkie przecinają się w środku sześcianu. Dodatkowo sześcian ma 12 przekątnych ścian.
Czym różni się przekątna sześcianu od przekątnej ściany?
Przekątna ściany leży na powierzchni sześcianu i ma długość a√2. Przekątna sześcianu biegnie przez jego wnętrze i ma długość a√3, jest więc dłuższa.
Jak obliczyć krawędź sześcianu, znając przekątną?
Podziel przekątną przez √3: a = d / √3 = d√3 / 3. Dla przekątnej 9 cm krawędź ma 3√3 cm, czyli około 5,20 cm.
Ile wynosi przekątna sześcianu o krawędzi 1?
Dokładnie √3, czyli w przybliżeniu 1,73. Dla każdej innej krawędzi wystarczy pomnożyć tę liczbę przez a.
Czy wzór na przekątną sześcianu trzeba znać na pamięć?
Warto, ale nie jest to konieczne. Wzór odtworzysz w kilku linijkach, stosując dwa razy twierdzenie Pitagorasa: najpierw dla ściany, potem dla trójkąta wewnątrz bryły.
Podsumowanie
Przekątna sześcianu ma długość d = a√3 i jest najdłuższym odcinkiem, jaki mieści się w tej bryle. Wzór wynika z dwukrotnego użycia twierdzenia Pitagorasa, a jego odwrócenie, a = d√3 / 3, pozwala z przekątnej obliczyć krawędź, pole powierzchni i objętość. Przekątnej sześcianu nie należy mylić z przekątną ściany, która ma długość a√2.
Jeśli zadania z bryłami wciąż sprawiają kłopot, warto sprawdzić, którego z wcześniejszych tematów brakuje. Pomaga w tym Compass, czyli platforma do nauki matematyki, która diagnozuje luki i układa indywidualną ścieżkę nauki od 4 klasy do matury podstawowej. Diagnoza to 35 pytań z materiału danej klasy, a pierwsze 7 dni nauki jest za darmo.
Artykuł zewnętrzny.
